養育医療の申請をしないと膨大な金額の入院費を支払わなければならず
ドクターの説明でも早く名前を決めて手続きを・・と言われたようです。
養育医療は、自治体に申請しますので、自治体によって必要な書類や用紙が異なります。
私の住む自治体では、概ねこんな感じでした。


■事業の案内
 出生時に未熟児および低体重児であった新生児に対して医療給付を行います。

■対象となる方
 区内に住所を有する、出生時の体重が2.000g以下か、2.000g以上でも生活力が特に弱い新生児で、指定医療機関の医師が入院養育を必要と認めた方

■必要書類
《持参するもの》
  1.養育医療給付申請書
  2.養育医療意見書
  3.世帯調書
  4.所得税額証明書(世帯全員の方)
   (1)会社等に勤務している方は、源泉徴収票      
   (2)ご自分で事業をしている方は、確定申告の控(税務署受付印のあるのもの)    
   (3)(1)・(2)とも所得税額が0円の方は、住民税の課税証明書
  5.健康保険証

でした。2の意見書は、ドクターに書いてもらうもので
それ以外は各家庭のことを記入するものでした。
用紙は、自治体のホームページでダウンロードできる場合もあります。
会社員の場合は、「源泉徴収票」を会社に言って申請する必要がありますが
その前に、

名前を決める→出生届→会社に扶養申請して健康保険証を入手

が必要です。